9.2 Sinus og cosinus
Intro
Sinus og cosinus er de to grunnleggende trigonometriske funksjonene som kobler vinkler til forholdet mellom sider i en rettvinklet trekant. De lar oss beregne ukjente sider og vinkler i trekanter, og brukes i alt fra navigasjon og arkitektur til lysbølger og signalbehandling. Huskeregelen SOH-CAH-TOA hjelper deg huske hvilken side som tilhører hvilken funksjon: Sinus = Opposite/Hypotenuse, Cosinus = Adjacent/Hypotenuse.
Regel
- sin(v) = motstående side / hypotenus (SOH)
- cos(v) = hosliggende side / hypotenus (CAH)
- Finn ukjent side: motstående = hypotenus · sin(v), hosliggende = hypotenus · cos(v)
- Finn ukjent hypotenus: hypotenus = motstående / sin(v) = hosliggende / cos(v)
- Viktig identitet: sin²(v) + cos²(v) = 1 for alle vinkler v
- For komplementære vinkler: sin(v) = cos(90° − v)
Eksempel
sin v = 3/5 → hva er motstående?
- Vi har sin(v) = 3/5 og ønsker å identifisere den motstående siden
- Definisjonen er sin(v) = motstående / hypotenus
- Vi sammenligner: motstående / hypotenus = 3 / 5
- Dermed er motstående side = 3 og hypotenus = 5
- Svar: Den motstående siden er 3
Svar: 3
Forstå
Sinus og cosinus avhenger bare av vinkelen, ikke av trekantens størrelse – alle rettvinklede trekanter med samme vinkel har nøyaktig samme sinus- og cosinusverdier. «Motstående» side er den som er overfor vinkelen vi ser på, «hosliggende» er den som grenser til vinkelen (men ikke er hypotenusen), og hypotenusen er alltid siden overfor den rette vinkelen.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å blande motstående og hosliggende side. Motstående side er siden som ligger overfor vinkelen du beregner med, mens hosliggende er siden som «huser» vinkelen (grenser til den uten å være hypotenusen). Trikset er å merke vinkelen tydelig og se hvilken side som peker direkte mot den (motstående) og hvilken som grenser til den (hosliggende).
Øv selv
Lett: Finn motstående katet når hypotenusen er 10 og sin(v)=0,6.
Minioppsummering
- sin(v) = motstående / hypotenus; cos(v) = hosliggende / hypotenus (SOH-CAH)
- Finn ukjent side: motstående = hyp · sin(v), hosliggende = hyp · cos(v)
- Motstående = siden overfor vinkelen; hosliggende = siden som grenser til vinkelen
- Identitet: sin²(v) + cos²(v) = 1 – nyttig for å sjekke regnestykker