9.1 Pytagorassetningen
Intro
Pytagorassetningen ble kjent gjennom den greske matematikeren Pythagoras (ca. 570–495 f.Kr.), men var faktisk kjent av babylonske og egyptiske matematikere i over tusen år tidligere. Den brukes daglig av ingeniører, arkitekter og håndverkere for å kontrollere rette vinkler og beregne avstander. Setningen er grunnsteinen i all euklidsk geometri og er utgangspunktet for trigonometri og vektorer.
Regel
- I en rettvinklet trekant: a² + b² = c², der c er hypotenusen (siden mot den rette vinkelen)
- Finn hypotenusen: c = √(a² + b²)
- Finn en katet: a = √(c² − b²) eller b = √(c² − a²)
- Hypotenusen er alltid den lengste siden – den ligger alltid overfor den rette vinkelen
- Setningen gjelder KUN for rettvinklede trekanter – sjekk alltid at det er en rett vinkel
Eksempel
a=3, b=4 → c?
- Vi har en rettvinklet trekant med kateter a = 3 og b = 4, og ønsker å finne hypotenusen c
- Bruker Pytagorassetningen: c² = a² + b²
- Setter inn: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- Tar kvadratroten: c = √25 = 5
- Svar: c = 5. Dette er det kjente 3−4−5-pytageiske tripelet
Svar: 5
Forstå
Pytagorassetningen sier at arealet av kvadratet på hypotenusen er lik summen av arealene av kvadratene på de to katetene. Visuelt: bygg et kvadrat på hver side av trekanten, og summen av de to små kvadratene er nøyaktig like stort som det store kvadratet. Den rette vinkelen er nøkkelen – det er den som gjør at setningen holder.
Vanlig feil
Den vanligste feilen er å bruke en katet som hypotenus i formelen. Hypotenusen c er alltid siden som ligger overfor den rette vinkelen – den er alltid den lengste siden. En annen typisk feil er å skrive a² + b² = c og glemme å ta kvadratroten: c = √(a² + b²), ikke a² + b².
Øv selv
Lett: Finn hypotenusen når katetene er 9 og 12.
Minioppsummering
- Pytagorassetningen: a² + b² = c², der c er hypotenusen (siden mot den rette vinkelen)
- Finn hypotenus: c = √(a² + b²); finn katet: a = √(c² − b²)
- Hypotenusen er alltid den lengste siden og ligger overfor den rette vinkelen
- Setningen gjelder kun for rettvinklede trekanter – kontroller at det finnes en rett vinkel